Cours et Exercices de Mathématiques pour le Collège et le lycée

3ème: La trigonométrie

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📖 Le Cours :

Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle, on peut appliquer les formules de trigonométrie en fonction de l'angle $\color{#22C55E}\alpha$ considéré. ( ici $\color{#22C55E}\alpha=\widehat{ABC}$ ).

l'angle droit hypoténuse adjacent opposé α C A B
Formules : $$\cos({\color{#22C55E}\alpha})=\frac{\color{#0072ff}adjacent}{\color{red}hypoténuse}$$ $$\sin({\color{#22C55E}\alpha})=\frac{\color{#ef3aff}opposé}{\color{red}hypoténuse}$$ $$\tan({\color{#22C55E}\alpha})=\frac{\color{#ef3aff}opposé}{\color{0072ff}adjacent}$$

On peut se souvenir de ces formules en utilisant le moyen mnémotechnique $C\color{#0072ff}A\color{red}H\color{white}S\color{#ef3aff}O\color{red}H\color{white}T\color{#ef3aff}O\color{#0072ff}A$ .

Exemple pour calculer la valeur d'un angle

On souhaite calculer l'angle $\widehat{ABC}$ dans le triangle $ABC$ dessiné ci-contre :

? 4 cm 3 cm C A B

On rédige :

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ :
$$\begin{aligned} &\tan(\widehat{ABC})=\frac{AC}{AB} \\[1em] \Leftrightarrow \;&\tan(\widehat{ABC})=\frac{3}{4} \\[1em] \Leftrightarrow \;&\widehat{ABC}=\arctan(\frac{3}{4}) \\[1em] \Leftrightarrow \;&\boxed{\widehat{ABC} \approx 37°} \\[1em] \end{aligned}$$

!Remarque : On utilise la fonction arctan( ) de la calculatrice pour enlever la fonction tan( ) devant l'angle. Si tu dois enlever cos( ) il te faudra utiliser arccos( ) (notée $\cos^{-1}$ sur certaines calculatrice) et si tu dois enlever sin( ) il te faudra utiliser arcsin( ) (notée $\sin^{-1}$ sur certaines calculatrice).

Exemple pour calculer un des deux autres côtés

On souhaite calculer le côté $AB$ dans le triangle $ABC$ dessiné ci-contre :

10 cm ? 40° C A B

On rédige :

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ :
$$\begin{aligned} &\cos(\widehat{ABC})=\frac{AB}{BC} \\[1em] \Leftrightarrow \;&\cos(40)=\frac{AB}{10}\ \\[1em] \Leftrightarrow \;&\frac{\cos(40)}{1}=\frac{AB}{10}\ \\[1em] \Leftrightarrow \;&AB=\frac{10 \times \cos(40) }{1} \text{ (produit en croix)}\\[1em] \Leftrightarrow \;&\boxed{AB \approx 7,7 cm} \\[1em] \end{aligned}$$

!Remarques :
  • Les relations trigonométriques ne s'appliquent que dans les triangles rectangles.
  • Pense à choisir la bonne formule (cosinus, sinus ou tangente) en fonction des côtés que tu connais.
  • Pense à bien régler ta calculatrice dans le mode degré (un angle peut aussi s'exprimer en radian, mais tu ne verras cela qu'au lycée)

Deux autres formules à connaître

Formule de l'identité trigonométrique pythagoricienne :

$$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$
Démonstration
α C A B

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on peut écrire d'une part que :

$$\begin{aligned} &\cos(\alpha)=\frac{AB}{BC} \\[1em] \Leftrightarrow \;&\cos^2(\alpha)=\left(\frac{AB}{BC}\right)^2 \\[1em] \Leftrightarrow \;&\cos^2(\alpha)=\frac{AB^{\,2}}{BC^{\,2}} \\[1em] \end{aligned}$$

Et d'autre part que :

$$\begin{aligned} &\sin(\alpha)=\frac{AC}{BC} \\[1em] \Leftrightarrow \;&\sin^2(\alpha)=\left(\frac{AC}{BC}\right)^2 \\[1em] \Leftrightarrow \;&\sin^2(\alpha)=\frac{AC^{\,2}}{BC^{\,2}} \\[1em] \end{aligned}$$

De plus, d'après le théorème de Pythagore, $AB^{\,2}+AC^{\,2}=BC^{\,2}$.

On a alors:
$$\begin{aligned} \cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)&=\frac{AB^{\,2}}{BC^{\,2}}+\frac{AC^{\,2}}{BC^{\,2}} \\[1em] &=\frac{AB^{\,2}+AC^{\,2}}{BC^{\,2}} \\[1em] &=\frac{BC^{\,2}}{BC^{\,2}} \\[1em] &=\boxed{1}\\ \end{aligned}$$

Relation entre la tangente, le sinus et le cosinus :

$$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$
Démonstration
α C A B

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on peut écrire que :

$$\cos(\alpha)=\frac{AB}{BC}$$ $$\sin(\alpha)=\frac{AC}{BC}$$ $$\tan(\alpha)=\frac{AC}{AB}$$

On a alors:

$$\begin{aligned} \genfrac{}{}{1.5pt}{0}{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}&=\genfrac{}{}{1.5pt}{0}{\quad\dfrac{AC}{BC}\quad}{\quad\dfrac{AB}{BC}\quad} \\[3em] &=\frac{AC}{\cancel{BC}} \times \frac{\cancel{BC}}{AB} \\[1.5em] &=\frac{AC}{AB} \\[1em] &=\boxed{\tan(\alpha)}\\ \end{aligned}$$

!Remarques :
  • $\sin^2(\alpha) \neq \sin(\alpha^2)$
  • $\sin^2(\alpha)$ est une écriture simplifiée et correcte de $[\sin(\alpha)]^2$