Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, quand on connait deux côtés, on peut calculer le troisième.
En effet, d'après le théorème de Pythagore, le carré de l'hypoténuse est toujours égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Exemple pour calculer l'hypoténuse
On souhaite calculer le côté $BC$ dans le triangle $ABC$ dessiné ci-contre :
On rédige :
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore :
$$\begin{aligned}
&BC^{\,2} = AB^{\,2} + AC^{\,2} \\
\Leftrightarrow \;&BC^{\,2} = 4^{\,2} + 3^{\,2} \\
\Leftrightarrow \;&BC^{\,2} = 16 + 9 \\
\Leftrightarrow \;&BC^{\,2} = 25 \\
\Leftrightarrow \;&\color{red}\sqrt{\color{#D2D2D8}BC^{\,2}} \color{#D2D2D8}= \color{red}\sqrt{\color{#D2D2D8}25} \\
\Leftrightarrow \;&\boxed{BC = 5 \;cm} \\
\end{aligned}$$
Exemple pour calculer un des deux autres côtés
On souhaite calculer le côté $AB$ dans le triangle $ABC$ dessiné ci-contre :
On rédige :
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore :
$$\begin{aligned}
&BC^{\,2} = AB^{\,2} + AC^{\,2} \\
\Leftrightarrow \;&10^{\,2} = AB^{\,2} + 6^{\,2} \\
\Leftrightarrow \;&100 = AB^{\,2} + 36 \\
\Leftrightarrow \;&100 {\color{red} -36} = AB^{\,2} + \cancel{36} \color{red} -\cancel{36}\\
\Leftrightarrow \;&64 = AB^{\,2} \\
\Leftrightarrow \;&AB^{\,2} = 64 \\
\Leftrightarrow \;&\color{red}\sqrt{\color{#D2D2D8}AB^{\,2}} \color{#D2D2D8}= \color{red}\sqrt{\color{#D2D2D8}64} \\
\Leftrightarrow \;&\boxed{AB = 8 \;cm} \\
\end{aligned}$$
- Le théorème de Pythagore ne s'applique que dans les triangles rectangles.
- Quand on écrit le théorème de Pythagore, on commence toujours par le carré de l'hypoténuse $=$ ... Puis on remplace les deux longueurs que l'on connait.
Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore
Si on connait la mesure des trois côtés d'un triangle, on peut savoir s'il est rectangle.
Pour cela on calcule d'une part le carré du plus grand côté puis d'autre part la somme des carrés des deux autres côtés :
- Si on trouve le même résultat, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
- Si on trouve deux résultats différents, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.
$${\color{red}BC^{\,2}}=AB^{\,2}+AC^{\,2}$$ $\rightarrow$ Le triangle est rectangle en A.
$${\color{red}BC^{\,2}} \neq AB^{\,2}+AC^{\,2}$$ $\rightarrow$ Le triangle n'est pas rectangle.
Exemple d'application de la réciproque
On souhaite savoir si le triangle $ABC$ dessiné ci-contre est rectangle :
On rédige :
Le plus long côté est BC.
D'une part : $BC^{\,2} = 5^{\,2} = 25$
D'autre part : $AB^{\,2} + AC^{\,2} = 4^{\,2} + 3^{\,2} = 16 + 9 = 25$
On constate que $BC^{\,2} = AB^{\,2} + AC^{\,2}$. Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en A.
Exemple d'application de la contraposée
On souhaite savoir si le triangle $ABC$ dessiné ci-contre est rectangle :
On rédige :
Le plus long côté est BC.
D'une part : $BC^{\,2} = 3^{\,2} = 9$
D'autre part : $AB^{\,2} + AC^{\,2} = 2^{\,2} + 1^{\,2} = 4 + 1 = 5$
On constate que $BC^{\,2} \neq AB^{\,2} + AC^{\,2}$. Donc, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n'est pas rectangle.
- Si le triangle est rectangle, l'angle droit se situe toujours à l'opposé du côté le plus long.