Théorème de Thalès
Lorsque l'on observe deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes, on peut utiliser le théorème de Thalès pour calculer une longueur si on en connait d'autres.
Pour appliquer le théorème de Thalès, il faut donc préciser la configuration de ces droites.
Sur la figure ci-dessous, les points $C$, $D$, $A$ et les points $C$, $E$, $B$ sont alignés dans le même ordre. De plus $(DE)\mathrel{/\!/}(AB)$. On a donc, d'après le théorème de Thalès:
Exemple de calcul
Sachant que $(DE)\mathrel{/\!/}(AB)$, on souhaite calculer le côté $DE$ dans le triangle $ABC$ dessiné ci-contre:
On rédige :
Les points $C, D, A$ et les points $C, E, B$ sont alignés dans le même ordre.
De plus $(DE)\mathrel{/\!/}(AB)$.
On a donc, d'après le théorème de Thalès:
$$\begin{aligned}
&\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}=\frac{DE}{AB} \\
\Leftrightarrow \;&\frac{2}{5}={\color{#6245A8}\frac{CE}{CB}}=\frac{DE}{6} \\
\Leftrightarrow \;&DE=\frac{2\times6}{5} \\
\Leftrightarrow \;&\boxed{DE = 2,4 \;cm} \\
\end{aligned}$$
- On ne peut appliquer le théorème de Thalès que si la figure possède deux droites parallèles.
- Pour ne pas se mélanger les pinceaux, dans l'égalité de Thalès, il faut commencer par le point où les deux droites non parallèles sont sécantes (ici le point ${\color{#27F53C}C}$) lorsqu'on indique les longueurs dans les deux premiers rapports.
Réciproque et contraposée du théorème de Thalès
Si on connait quelques mesures dans une configuration de Thalès (triangles emboités ou en configuration "papillon"), on peut savoir si deux droites sont parallèles.
Pour cela, il suffit de prouver que deux rapports de l'égalité de Thalès sont égaux:
- Si on trouve qu'ils sont égaux, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites sont parallèles.
- Si on trouve qu'ils sont différents, d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites ne sont pas parallèles.
$$\frac{{\color{#27F53C}C}D}{{\color{#27F53C}C}A}=\frac{{\color{#27F53C}C}E}{{\color{#27F53C}C}B}=\frac{DE}{AB}$$ $\rightarrow (DE)$ et $(AB)$ sont parallèles.
$$\frac{{\color{#27F53C}C}D}{{\color{#27F53C}C}A}\neq\frac{{\color{#27F53C}C}E}{{\color{#27F53C}C}B}\neq\frac{DE}{AB}$$ $\rightarrow (DE)$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.
Exemple d'application de la réciproque
Dans le triangle ABC dessiné ci-contre, on souhaite savoir si $(DE)\mathrel{/\!/}(AB)$:
On rédige :
Les points $C, D, A$ et les points $C, E,B$ sont alignés dans le même ordre.
D'une part: $\frac{CD}{CA}=\frac{10}{25}=0,4$
D'autre part: $\frac{DE}{AB}=\frac{12}{30}=0.4$
On constate que $\frac{CD}{CA}=\frac{DE}{AB}$. Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(DE)\mathrel{/\!/}(AB)$.
Exemple d'application de la contraposée
Dans le triangle ABC dessiné ci-contre, on souhaite savoir si $(DE)\mathrel{/\!/}(AB)$:
On rédige :
Les points $C, D, A$ et les points $C, E,B$ sont alignés dans le même ordre.
D'une part: $\frac{CD}{CA}=\frac{3}{8}=0,375$
D'autre part: $\frac{DE}{AB}=\frac{4}{10}=0.4$
On constate que $\frac{CD}{CA}\neq\frac{DE}{AB}$. Donc, d'après la contraposée du théorème de Thalès, $(DE)$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.
- Il suffit de calculer seulement deux rapports de l'égalité de Thalès pour pouvoir conclure.