C'est quoi une fraction
Une fraction correspond à la division de deux nombres entiers.
- Le nombre placé "en haut" de la fraction s'appelle le numérateur.
- Le nombre placé "en bas" de la fraction s'appelle le dénominateur.
Exemple de fraction
$$\begin{matrix} \text{\color{red}numérateur} \color{red}\rightarrow \\ \\ \text{\color{yellow}dénominateur} \color{yellow}\rightarrow \end{matrix} \dfrac{\color{red}44}{\color{yellow}333}=44 \div 333$$Pourquoi utiliser les fractions
Une fraction permet d'écrire plus simplement tous les nombres décimaux avec un nombre de chiffres finis après la virgule, ou avec un nombre de chiffres infini après la virgule mais pour lesquels on observe une périodicité.
Exemple de fraction
$$0,125=\frac{1}{8}$$$$0,{\color{pink}{123}} \, {\color{white}{123}} \, {\color{pink}{123}} \, {\color{white}{123}} \ldots = \frac{41}{333}$$
- Il est souvent bien plus facile d'effectuer des calculs avec les fractions qu'avec des nombres décimaux ou des divisions successives.
- Même un nombre entier peut s'écrire à l'aide d'une fraction: $5=\frac{5}{1}$.
- Il est impossible d'avoir $0$ au dénominateur: $\frac{5}{0}$ n'existe pas.
Comparer une fraction à 1
- Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est plus grande que 1.
Exemple de comparaison
$$\dfrac{{\color{red}7}}{4} \geqslant 1$$ - Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est plus petite que 1.
Exemple de comparaison
$$\dfrac{2}{{\color{yellow}5}} \leqslant 1$$ - Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est égale à 1.
Exemple de comparaison
$$\dfrac{8}{8} = 1$$
Comparer deux fractions ensemble
- À dénominateur égal, la fraction la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
Exemple de comparaison
$$\dfrac{7}{{\color{red}3}} \geqslant \dfrac{5}{{\color{red}3}}$$ - À numérateur égal, la fraction la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
Exemple de comparaison
$$\dfrac{{\color{yellow}1}}{6} \leqslant \dfrac{{\color{yellow}1}}{2}$$
Additionner et soustraire des fractions
Pour additionner ou soustraire deux fractions ensemble, il faut absolument qu'elles aient le même dénominateur.
Pour ce faire, on a le droit de multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, cela ne change pas sa valeur.
On additionne ou on soustrait ensuite les numérateurs tout en gardant le dénominateur commun.
Exemple de calcul N°1
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{3}+\dfrac{11}{6} &= \dfrac{1 \color{red}\times 2}{3\color{red}\times 2}+\dfrac{11}{6} \\[1.5em] &= \dfrac{2}{\color{yellow}6}+\dfrac{11}{\color{yellow}6} \\[1.5em] &= \dfrac{2+11}{\color{yellow}6} \\[1.5em] &= \boxed{\dfrac{13}{6}} \end{aligned}$$Exemple de calcul N°1
$$ \begin{aligned} \dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5} &= \dfrac{3 \color{red}\times 5}{4\color{red}\times 5}-\dfrac{7 \color{red}\times 4}{5\color{red}\times 4} \\[1.5em] &= \dfrac{15}{\color{yellow}20}-\dfrac{28}{\color{yellow}20} \\[1.5em] &= \dfrac{15-28}{\color{yellow}20} \\[1.5em] &= \boxed{-\dfrac{13}{20}} \end{aligned}$$Exemple de calcul N°1
$$ \begin{aligned} \dfrac{8}{5} +3 &=\dfrac{8}{5}+\dfrac{3}{1} \\[1.5em] &= \dfrac{8}{5}+\dfrac{3 \color{red}\times 5}{1\color{red}\times 5} \\[1.5em] &= \dfrac{8}{\color{yellow}5}+\dfrac{15}{\color{yellow}5} \\[1.5em] &= \dfrac{8+15}{\color{yellow}5} \\[1.5em] &= \boxed{\dfrac{23}{5}} \end{aligned}$$Multiplier et diviser des fractions
Pour multiplier deux fractions ensemble, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Exemple de calcul N°11
$$\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{\color{red}2 \times 3}{\color{yellow}5 \times 7} = \boxed{ \dfrac{6}{35}}$$Exemple de calcul N°2
$$\dfrac{8}{7} \times 4 = \dfrac{8}{7} \times \dfrac{4}{1} = \dfrac{\color{red}8 \times 4}{\color{yellow}7 \times 1} = \boxed{ \dfrac{32}{7}}$$Pour diviser une fraction par une autre, il suffit de multiplier la première fraction par l'inverse de la deuxième et on applique ensuite la règle précédente.
Exemple de calcul
$$ \dfrac{\quad \dfrac{3}{5} \rule[-2ex]{0pt}{0pt} \quad}{\quad \rule[3.5ex]{0pt}{0pt} \dfrac{\color{red}7}{\color{yellow}2} \quad} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{\color{yellow}2}{\color{red}7} = \dfrac{3 \times 2}{5 \times 7} = \boxed{ \dfrac{6}{35}} $$Simplifier une fraction
Pour simplifier une fraction, il faut repérer si le numérateur et le dénominateur possèdent un multiple commun. Si tel est le cas, on peut alors simplifier la fraction en divisant numérateur et dénominateur par ce multiple, cela ne changera pas sa valeur.
Exemple de simplification
$$\dfrac{18}{21} = \dfrac{6 \color{pink} \times \cancel{3}}{7 \color{pink} \times \cancel{3}} = \boxed{ \dfrac{6}{7}}$$- Une fraction qui ne peut plus être simplifiée est appelée fraction irréductible.
- Pour rappel, un nombre est:
- multiple de 2 s'il est pair.
- multiple de 3 si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 3.
- multiple de 5 s'il finit par 0 ou 5.
- multiple de 2 s'il est pair.