Calcul de l'espérance, de la variance et de l'écart-type
Espérance :
Variance :
$$V(X)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} p_i \,{[x_i-E(X)]}^2$$
Ou encore, plus pratique à calculer et qui donnera le même résultat, la formule de König-Huygens :Ecart-type :
Exemple d'application
On considère une variable aléatoire $X$ qui correspond au volume d'eau dans une bouteille et dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous :
| Volume $x_i$ (en $\text{mL}$) | $480$ | $490$ | $500$ | $510$ | $520$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité $P(X = x_i)$ | $0{,}1$ | $0{,}2$ | $0{,}4$ | $0{,}2$ | $0{,}1$ |
(Vérification : $0,1+0,2+0,4+0,2+0,1 = 1$)
Calcul de l'espérance :
$E(X) = 0{,}1 \times 480 + 0{,}2 \times 490 + 0{,}4 \times 500 + 0{,}2 \times 510 + 0{,}1 \times 520$
$E(X) = 500\text{ mL}$
2. Calcul de la Variance :
$V(X) = 0{,}1 \times 480^2 + 0{,}2 \times 490^2 + 0{,}4 \times 500^2 + 0{,}2 \times 510^2 + 0{,}1 \times 520^2-500^2$
$V(X) = 100$
Calcul de l'Écart-type :
$\sigma(X) = \sqrt{100}$
$\sigma(X) = 10\text{ mL}$
Dans le cas particulier où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, on a :
- $E(X)=n\,p$
- $V(X)=n\,p\,(1-p)$
- $\sigma(X)=\sqrt{n\,p\,(1-p)}$
Opérations sur l'espérance, la variance et l'écart-type
Produit et somme :
On note $Y=a\,X+b$ la variable aléatoire associée à la transformation affine de la variable aléatoire $X$.
On a alors :
- $E(a\,X+b)=a\,E(X)+b$
- $V(a\,X+b)=a^2\,V(X)$
- $\sigma(a\,X+b)=a\,\sigma(X)$
Exemple d'application
Soit $X$ la variable aléatoire représentant le volume d'eau dans une bouteille en$\text{ mL}$. Une bouteille contient en moyenne $E(X) = 500\text{ mL}$ d'eau avec une variance $V(x)=100$ et donc un écart-type $\sigma(X) = 10\text{ mL}$.
On double à présent le volume d'eau et on rajoute $20\text{ mL}$ dans chaque bouteille. On obtient une nouvelle variable aléatoire $Y=2X+20$.
On a alors :
- $E(Y)=2\,E(X)+20=2\times 500+20 =1020 \text{ mL}$
- $V(Y)=2^2\,V(X)=4\times 100 =400$
- $\sigma(Y)=2\,\sigma(X)=2\times 10 =20 \text{ mL}$
Valeur moyenne :
On note $\,M_n$ la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille $n$, c'est-à-dire $\,M_n = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i$ :
On a alors :
- $E(M_n)=E(X)$
- $V(M_n)=\frac{V(X)}{n}$
- $\sigma(M_n)=\frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$
Exemple d'application
Soit $X$ la variable aléatoire représentant le volume d'eau en$\text{ mL}$ dans une bouteille qui vaut en moyenne $E(X) = 500\text{ mL}$ avec un écart-type : $\sigma(X) = 10\text{ mL}$.
On prélève un échantillon de $n = 25$ bouteilles et on s'intéresse au volume moyen du lot : $\,M_n=\frac{X_1+X_2+...+X_{25}}{25}$.
On a alors :
- $E(M_n)=E(X)=500\text{ mL}$
- $V(M_n)=\frac{V(X)}{n}=\frac{100}{25}=4$
- $\sigma(M_n)=\frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{25}}=2\text{ mL}$
Inégalité de Markov
Soit $X$ une variable aléatoire positive ayant une espérance $E(X)$.
Pour tout réel $a > 0$ :
Exemple d'application
Soit $X$ la variable aléatoire représentant le volume d'eau dans une bouteille en$\text{ mL}$. On sait qu'une bouteille contient en moyenne $E(X) = 500\text{ mL}$ d'eau.
On souhaite connaître un majorant de la probabilité que le volume d'eau contenu dans une bouteille soit supérieur à $550\text{ mL}$ :
Comme un volume est toujours positif ($X \geq 0$), d'après l'inégalité de Markov, on a : $$P(X \geq 550) \leq \frac{500}{550}$$ $$\Leftrightarrow P(X \geq 550) \leq 0,91$$
Interprétation : On peut garantir qu'au maximum $91\,\%$ des bouteilles contiendront plus de $550\text{ mL}$ d'eau, peu importe la loi de probabilité suivie par la machine qui les remplit.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)$ et de variance $V(X)$.
Pour tout $a > 0$ :
Cette inégalité est fondamentale car elle prouve que plus la variance est petite, plus la variable est "concentrée" autour de sa moyenne.
Exemple d'application
Soit $X$ la variable aléatoire représentant le volume d'eau dans une bouteille en$\text{ mL}$. Une bouteille contient en moyenne $E(X) = 500\text{ mL}$ d'eau avec un écart-type : $\sigma(X) = 10\text{ mL}$
On souhaite connaître un majorant de la probabilité que le volume d'eau contenu dans une bouteille s'écarte de la moyenne de plus de $50\text{ mL}$.
$$V(X)=\sigma^2(X)=10^2=100$$ D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $$P(|X - 500| \geq 50) \leq \frac{100}{50^2}$$ $$\Leftrightarrow P(|X - 500| \geq 50) \leq 0,04$$
Interprétation : On peut garantir qu'au maximum $4\,\%$ des bouteilles auront un écart de plus de 50 $\text{mL}$ par rapport au volume d'eau moyen, peu importe la loi de probabilité suivie par la machine qui les remplit.
Inégalité de Concentration
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)$ et de variance $V(X)$. On note $\,M_n$ la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille $n$, c'est-à-dire $\,M_n = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i$.
Pour tout $a > 0$ :
Exemple d'application
Soit $X$ la variable aléatoire représentant le volume d'eau en $\text{mL}$ dans une bouteille qui vaut en moyenne $E(X) = 500\text{ mL}$ avec un écart-type : $\sigma(X) = 10\text{ mL}$.
On prélève un échantillon de $n = 25$ bouteilles et on calcule la moyenne du lot $\,M_n$.
On souhaite connaître un majorant de la probabilité que la moyenne du volume d'eau contenu dans les 25 bouteilles s'écarte de plus de $50\text{ mL}$ de la moyenne $E(X)$ annoncée :
$$V(X)=\sigma^2(X)=10^2=100$$ $$P(|\,M_n - 500| \geq 50) \leq \frac{100}{25 \times 50^2}$$ $$P(|\,M_n - 500| \geq 50) \leq 0.0016$$
Interprétation : On peut garantir qu'au maximum $0,16\,\%$ des lots de $25$ bouteilles auront un volume moyen qui s'écarte de plus de $50\text{ mL}$ de la moyenne $E(X)$ annoncée, peu importe la loi de probabilité suivie par la machine qui les remplit.